Hur får man fram en primitiv funktion

I detta förra avsnittet repeterade oss vad ett differentialekvation existerar, för att lösningen mot enstaka differentialekvation existerar ett funktion samt hur oss kunna kontrollera för att enstaka viss funktion existerar enstaka lösning.

I detta på denna plats avsnittet kommer oss för att undersöka hur oss inom vissa fall förmå åtgärda enstaka differentialekvation genom för att beräkna primitiva funktioner.

Primitiva funktioner

Redan inom Matte 3-kursen lärde oss oss ifall primitiva funktioner inom samband tillsammans för att oss beräknade integraler.

En funktion F(x) existerar primitiv funktion mot f(x) angående oss får funktionen f(x) då oss deriverar F(x):

$$F'(x)=f(x)$$

Har oss mot modell enstaka känd andragradsfunktion

$$f(x)=a{x}^{2}+bx+c$$

där a, b samt c besitter godtyckligt valda värden, är kapabel oss tillsammans hjälp från kända räkneregler beräkna den primitiva funktionen F(x):

$$F(x)=\frac{a{x}^{3}}{3}+\frac{b{x}^{2}}{2}+cx+d$$

Som oss ser ovan tillkom ett konstantterm d då oss beräknade den primitiva funktionen F(x).

detta beror vid för att detta formulering på grund av den primitiva funktionen vilket oss kom fram mot uttrycker samtliga primitiva funktioner mot f(x).

På detta sätt förmå oss alltså beräkna primitiva funktioner F(x) mot enstaka känd funktion f(x). Detta innebär för att ifall oss mot modell känner mot en formulering till ett derivata y'(x) därför är kapabel oss ofta beräkna y(x).

Hur detta förmå användas då oss löser differentialekvationer bör oss undersöka härnäst.

Primitiv funktion vilket svar mot differentialekvationer

Som oss tidigare besitter kommit fram mot existerar ett differentialekvation enstaka ekvation liksom innehåller ett alternativt flera derivator mot ett funktion.

Till modell är kapabel ett differentialekvation titta ut vid nästa sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

Denna differentialekvation innehåller enbart förstaderivatan från funktionen s(t) inom detta vänstra ledet samt en känt formulering inom detta högra ledet.

Denna differentialekvation förmå mot modell förklara hur en föremåls hastighet beror vid tiden t (vid tiden t = 0 sekunder existerar hastigheten 5 m/s samt sedan ökar hastigheten på grund av varenda kort tid likt går tillsammans med 1,2 m/s).

Stöter oss vid differentialekvationer från denna typ kunna oss ofta åtgärda dem genom för att beräkna den primitiva funktionen tillsammans hjälp från kända räkneregler.

Differentialekvationen ovan förmå oss åtgärda genom för att beräkna den primitiva funktionen mot s'(t), detta önskar yttra s(t), vid nästa sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

$$s(t)=\frac{1,2{t}^{2}}{2}+5t+C=0,6{t}^{2}+5t+C$$

Som oss ser innehåller den primitiva funktionen s(t) enstaka okänd konstantterm C. tillsammans hjälp från denna konstantterm C uttrycker s(t) samtliga lösningar mot vår givna differentialekvation, vad oss kallar den allmänna lösningen mot differentialekvationen.

Om s(t) tolkas vilket hur sträckan beror vid tiden t, är kapabel konstanttermen C tolkas likt sträckan då tiden t existerar lika tillsammans med noll.

Låter oss C = 0 gälla förmå oss för tillfället beräkna hur långt ifrån utgångspunkten C såsom föremålet befinner sig nära mot modell tidpunkten t = 10 sekunder:

$$s(t)=0,6{t}^{2}+5t$$

$$s(10)=0,6\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=60+50=\,m$$

På liknande sätt vilket oss äger gjort denna plats ovan är kapabel oss utföra angående oss mot modell känner mot en formulering på grund av andraderivatan s''(t).

Enkelt uttryckt innebär en primitiv funktion att man tar fram ”baklängesderivatan” för en funktion

inom detta fallet existerar förstaderivatan s'(t) enstaka primitiv funktion mot s''(t), samt funktionen s(t) existerar enstaka primitiv funktion mot s'(t). då oss äger för att utföra tillsammans sträckor tolkar oss förstaderivatan s'(t) såsom hastigheten, v(t) = s'(t), samt andraderivatan s''(t) likt accelerationen, a(t) = v'(t) = s''(t).

Användning från villkor

Framgångsrik svar från ett differentialekvation leder typiskt mot för att oss får reda vid enstaka allmän svar mot differentialekvationen.

Därför besitter oss ofta användning till ytterligare villkor såsom specificerar precist vilka lösningar oss existerar intresserade av.

I fallet tillsammans en objekt inom rörelse, vars acceleration existerar känd, är kapabel dem ytterligare villkoren bestå inom för att oss känner mot vilken hastigheten och/eller sträckan existerar nära enstaka viss tidpunkt.

tillsammans hjälp från dessa villkor är kapabel oss sedan avgöra värdena vid konstanter likt ingår inom vårt funna funktionsuttryck.

---

Lös differentialekvationen

$$y''=sin\,2x+cos\,2x$$

då nästa villkor gäller:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

Differentialekvationen består från en känt formulering på grund av ett andraderivata y''(x).

för att åtgärda denna ekvation innebär för att oss tar reda vid en formulering till y(x).

Lägg till en konstant $C$ C

Detta är kapabel oss utföra genom för att oss inledningsvis kalkylerar den primitiva funktionen mot y''(x), detta önskar yttra y'(x), samt inom nästa steg kalkylerar den primitiva funktionen mot y'(x), detta önskar yttra y(x).

De primitiva funktionerna mot funktionerna f(x) = sin 2x samt g(x) = cos 2x existerar kända, eftersom oss stötte vid dessa inom Matte 4-kursen då oss studerade räkneregler till integraler:

$$\begin{cases}f(x) & =sin\,2x\\F(x) & =-\frac{cos\,2x}{2}+C\end{cases}$$

och

$$\begin{cases}g(x) & =cos\,2x\\G(x) & =\frac{sin\,2x}{2}+C\end{cases}$$

Vi kalkylerar y'(x) vilket den primitiva funktionen mot y''(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}+C$$

Detta existerar samtliga primitiva funktioner mot y''(x).

eftersom oss känner mot värdet vid förstaderivatan då x = 0 kunna oss ta reda vid värdet vid konstanttermen C samt på det sättet ta reda vid just den primitiva funktionen mot y''(x) liksom oss existerar ute efter inom detta steg:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y'(0)=-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{2}+\frac{sin\,(2\cdot 0)}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+\frac{0}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+C$$

Därför måste värdet vid konstanttermen C existera lika tillsammans med noll.

Vi går vidare samt kalkylerar y(x) såsom den primitiva funktionen mot y'(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}$$

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}+D$$

Detta existerar samtliga primitiva funktioner mot y'(x), självklart för att detta inledande villkoret, vilket oss redan tagit hänsyn mot, måste gälla.

oss besitter dock kvar ett konstantterm, D, för att hantera. på grund av för att ta reda vid just den svar likt oss existerar intresserade från, använder oss oss från detta andra villkoret, liksom anger funktionsvärdet då x = 0:

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

$$y(0)=-\frac{sin\,(2\cdot 0)}{4}-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{4}+D=$$

$$=-\frac{0}{4}-\frac{1}{4}+D=$$

$$=-\frac{1}{4}+D$$

Alltså måste även värdet vid konstanttermen D existera lika tillsammans noll.

Nu besitter oss funnit just den svar mot differentialekvationen såsom oss plats ute efter:

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}$$