14700 x 15 upphöjt till 1

En potens kallas en formulering var a kallas basen samt b kallas exponenten samt utläses "a upphöjt mot b". Operationen för att "upphöja" kallas exponentiering.

I grafräknare samt inom datorsammanhang brukar man uttrycka potenser likt var a existerar basen samt b existerar exponenten.

Kalkylatorn stöder både positiva och negativa tal

Exempel

[redigera | redigera wikitext]

Uttrycket existerar enstaka potens samt utläses "4 upphöjt mot 5" var 4 existerar basen samt 5 existerar enstaka expontent.

betyder detaljerad identisk sak liksom 4 · 4 · 4 · 4 · 4. Alltså, fem stycken fyror gånger varandra vilket existerar lika tillsammans med

Definitioner

[redigera | redigera wikitext]

I sin enklaste form eller gestalt (som tidigare kallades dignitet) definieras potenser vilket resultatet från upprepad multiplikation.

Exempelvis, 4³ (utläses 4 upphöjt mot 3) blir 4 · 4 · 4 = Mer allmänt gäller:

I denna definition förutsätts för att exponenten existerar en positivt heltal.

Potenslagarna

[redigera | redigera wikitext]

Ur definitionen från potenser tillsammans med positiva anförande liksom heltalsexponent, förmå potenslagarna härledas:

Utgående ifrån dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser från potens.

Interaktiv och gratis onlineräknare från GeoGebra: rita funktioner, plotta data, dra i glidare, skapa trianglar, circlar och mycket mer!

Utvidgning mot samtliga heltal

[redigera | redigera wikitext]

Med utgångspunkt inom för att potenslagarna skall gälla även då exponenten existerar en negativt heltal, följer från den näst sista potenslagen ovan för att

• a⁰ = 1 (om a ≠ 0) ifall m = n. Exempel: 2⁰ = 1 (läs mer beneath tom produkt)
• a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (om a ≠ 0) angående m < n.

  Exempel: 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2 .

För a = 0 går detta ej för att ge enstaka definition på grund av a^x annat än ifall x > 0.

Speciellt hör uttrycket 0⁰ mot dem odefinierbara uttrycken.

Utvidgning till rationella exponenter

[redigera | redigera wikitext]

Genom för att tillämpa den sista potenslagen förmå även potenser tillsammans med rationella exponenter beräknas, förutsatt för att basen existerar större än noll.

Potenser och potenslagarna är mycket användbara sätt att uttrycka matematik som annars skulle bli mycket besvärlig att läsa och skriva

• x = a^p/q (där a > 0) existerar detta positiva anförande x såsom möter x^q = a^p eftersom x^q = (a^p/q)^q = a^{p/q ∙ q} = a^p .

Speciellt betecknas a^1/2 likt (kvadrat)roten ur a (skrives) samt a^1/3 likt kubikroten ur a (skrives ).

Om basen existerar noll alternativt mindre, existerar potensen ej definierad, vilket beror vid för att ifall p existerar udda samt q existerar jämnt går detta ej för att erhålla likhet till negativa anförande a. Udda rötter existerar däremot definierade på grund av samtliga reella anförande.

Utvidgning på grund av samtliga reella exponenter

[redigera | redigera wikitext]

Om exponenten existerar irrationell, detta önskar yttra reell dock ej rationell, utgår man ifrån kontinuitetsprincipen:

Om x₁<y<x₂ därför bör a^x₁<a^y<a^x₂ gälla (där a>1), samt genom för att låta x₂ − x₁ bli allt mindre, bestäms a^y likt en gränsvärde.

(Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition från exponentialfunktionen

[redigera | redigera wikitext]

Det existerar även möjligt för att nyttja a^x = e^{x ln a} på grund av för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition förmå göras tillsammans exponentialfunktionens serieutveckling:

eller utgå ifrån enstaka definition från den naturliga logaritmen:

Utvidgning till komplexa tal

[redigera | redigera wikitext]

Imaginära exponenter tillsammans med basen e

[redigera | redigera wikitext]

Ett komplext anförande existerar en formulering från formen , var x samt y existerar reella anförande samt i existerar den imaginära enheten, en anförande likt satisfierar regeln .

en komplext anförande förmå åskådliggöras liksom ett punkt inom (x,y)-planet.

Verktyg för att räkna ut upphöjt till

dem relaterade till poler eller motsatser koordinaterna till ett punkt inom (x,y)-planet består från detta icke-negativa talet r samt vinkeln θ liknande för att x = r cos θ samt y = r sin θ:

Produkten från numeriskt värde komplexa anförande z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂ erhålls genom expansion från produkten från binomen samt förenkling tillsammans hjälp från regeln :

Som ett resultat från formler på grund av trigonometriska vinkelsummor; ifall z₁ samt z₂ besitter dem relaterade till poler eller motsatser koordinaterna (r₁, θ₁), (r₂, θ₂), sålunda existerar deras vara z₁z₂ inom relaterade till poler eller motsatser koordinater lika tillsammans med (r₁r₂, θ₁ + θ₂).

Lösningarna mot ekvationen e^z = 1 existerar heltalsmultiplarna 2πi:

Mera allmänt, angående e^v = w, således förmå varenda lösninig mot e^z = w erhållas genom addition från enstaka heltalsmultipel 2πi mot v:

Således existerar den komplexa exponentialfunktionen ett periodisk funktion tillsammans med perioden 2πi:

.

Mer angående potensers egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Till skillnad ifrån addition samt multiplikation äger operationen exponentiering nästan ingen från "de vanliga" algebraiska egenskaperna, likt brukar användas på grund av för att förenkla räkningar.

från potenslagarna förmå man utläsa, för att exponentiering existerar högerdistributiv tillsammans med avseende vid multiplikation (det önskar yttra att (a&#;·&#;b)^c&#;=&#;a^c&#;·&#;b^c); samt operationen besitter detta högerneutrala elementet 1 (eftersom a¹ = a.

Däremot existerar exponentiering ej vänsterdistributiv, samt saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering existerar ej heller kommutativ. Exempelvis existerar 2 + 3 = 5 = 3 + 2 samt 2 · 3 = 6 = 3 · 2, eftersom addition samt multiplikation existerar kommutativa operationer, dock 2³ = 8, vilket ej existerar detsamma liksom 3² = 9.

Man kan säga att potenser är för multiplikationen, vad multiplikationen är för additionen

Exponentiering existerar ej heller associativ, mot skillnad ifrån addition samt multiplikation. Exempelvis existerar (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 samt (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, dock 2³ upphöjt mot 4 existerar 8⁴&#;=&#;4&#;, medan 2 upphöjt mot 3⁴ existerar 2⁸¹&#;=&#;2&#;&#;&#;&#;&#;&#;&#;&#; Observera för att angående man ej använder parenteser till för att ändra prioriteringsordningen, därför "beräknas exponenter först", därför för att mot modell

.

(Detta gäller oberoende från angående man använder detta vanliga beteckningssättet tillsammans med "små upphöjda" exponenter, alternativt inom stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^.

inom datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q&#;=&#;b^(p^q)&#;≠&#;(b^p)^q.)

Funktioner tillsammans med potenser

[redigera | redigera wikitext]

Till viktiga funktionstyper likt äger sitt ursprung ur potenser räknas

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]